В точку!
Я как раз уже сделал это и приготовился постить свои заключения для тех, кто столкнётся с такой же ерундой))
Итог такой: то, что 8266ethernet прекласно работает с кучей client.print, вовсе не означает, что 8266wifi тоже их переварит в таком количестве. Он хочет почему-то только один...