Очень жаль, что webREPL не стартует при подаче питания. Сегодня вышла новая версия прошивки (esp8266-2016-07-25-v1.8.2-45-g6af90b2) и в ней эту проблему не решили.
Оставлю тут способ запустить webREPL вручную через PuTTY:
1. Подключаем плату к компьютеру через USB
2. С помощью ESP8266Flasher...