По тому, что я тут почитал, наверное ESP8266 и батарейку GoPower CR123A. Но впихнуть батарейку в старый корпус, в ктором была электроника весов наверное не получится. Наверное напечатаю другой, потолще.
Берем
MJWSD06MMC, т.к. у него экран больше:

Может показывать крупную (верхнюю) цифру до 1999 и менять значки...
Если чип в нем вечно спит и ждет имеющейся кнопки - потребление при работающем LCD будет 5..8 мкА (зависит от типа режима сна и установок для контроллера LCD).
Перепрограммируем
из готовых кусков исходников (обработка HX711 там тоже есть).
Программу типа:
Когда будет нажата кнопка (а она уже в комплекте), он включит питание на HX711 и начнет измерять, в режиме сна, c прерыванием по готовности HX711. Это значит, что будет пробуждаться по 10 раз в секунду по 3..4 мс для отображения вместо температуры килограммов от 0.0 пусть до 199.9 и менять значок вместо “C” на “E”, а вместо влажности показывать уровень батареи.
Припаиваем модуль с HX711 к выводам на плате.
В итоге получаем BLE или Zigbee гигрометр + весы (с дополнительной памятью на 20 тысяч замеров, если нужно считывать с него историю).
Среднее потребление при постоянной передаче T и RH в BLE каждые 20 секунд будет до 17 мкА,
а во время измерения и отображения весов – 1.6+(4*3*10/1000) = 1.72 мА. Из них 1.6 мА будет жрать HX711.
Пиковые токи в BLE не будут более 8 мА. Типично 6 мА.
Данные по жручке точные, т.к. обработка HX711 на TLSR825x уже пару лет работает у меня с датчиком давления и все измерено…
В MJWSD06MMC уже есть стабилизатор (LDO) на 2.8В (от там гад жрет 1 мкА).
Т.е. можно подключить 3xAAA или любую другую батарею до 5.5В, чтобы нормально работал HX711.
Иначе, при падении питания ниже 3В модулю с тензодатчиками плохеет.